INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO

MAEG – Investigação Operacional II – Simulação

______________________________________________________________________

1.	A Companhia de Seguros Cosmic vende seguros de vida porta a porta, dispondo registos da sua actividade passada. Baseada nas suas actividades passadas, a Cosmic sabe que há uma chance de 50% para que o vendedor João Silva quando aborda uma família esta não esteja interessada em seguro de vida, nem sequer em discutir o assunto para conhecer os detalhes. Mesmo que ao vendedor seja mostrada receptividade para conhecer os detalhes sobre os seguros, não há a garantia de venda de um seguro, já que 50% das conversas, sobre os detalhes, não resultam em qualquer venda de seguro. No entanto, em 1/3 das vezes conseguem-se seguros no valor (individual) de 10 000 u.m. e nos restantes casos seguros de 20 000u.m..

Usando uma amostra simulada de 20 visitas, determine:

(i) a probabilidade de venda de um seguro de vida,

(ii) a probabilidade de havendo a venda de um seguro ele ser de 10 000 u.m.;

(iii) o valor esperado do seguro, nos casos em que ele é conseguido.

2.	Considere o seguinte tabela de nºs PA:

0,1240	0,0387	0,3305	0,9232
0,7428	0,8801	0,0874	0,9644
0,7811	0,2239	0,6402	0,9922
0,1827	0,8929	0,1403	0,9436
0,4115	0,2957	0,7292	0,1408
0,9549	0,8655	0,7450	0,0098
0,6715	0,0399	0,1699	0,9577
0,9316	0,6992	0,3797	0,0090
0,6743	0,8145	0,1012	0,1546
0,5224	0,0945	0,0926	0,4460

a) Gere quatro valores para a v. a. com função de densidade f(x)= 3x2, 0 ≤ x ≤ 1;

b) Gere quatro valores para a v. a. normal com média 20 e desvio padrão 5;

c) Gere quatro valores para a v. a. exponencial com média 18;

d) Gere dois para a v.a. binomial de parâmetros n=5 e p= 0,75;

e) Supondo que o nº de aviões que chegam ao aeroporto de Liboa por hora é uma v.a. poisson de média 12, gere o nº de aviões que chegam nos próximos 10 minutos;

f) Gere quatro valores para a v. a. com a seguinte função de densidade (Beta): f(x)= 6x(1-x), 0 ≤ x ≤ 1;

g) Gere dois valores para a v.a. Uniforme (6;10);

h) Gere quatro valores para a v.a. com função de probabilidade:

3.	Considere que o tempo que dura uma actividade é uma v. a. triangular do tipo

a) Utilizando o método da transformação inversa, gere cinco valores para esta v.a., considerando os seguintes nºs PA entre 0 e 100: 86; 39;31; 57; 95;

b) Utilizando o método de aceitação-rejeição, gere outros cinco valores para esta v.a., considerando os mesmos nºs PA.

4.	Atiro uma moeda ao ar repetidas vezes e um jogo termina quando a diferença em módulo entre o número de vezes que sair face e o número de vezes que sair coroa for 3. Por cada lançamento da moeda pago 1 € (H&L).

No final de cada jogo recebo 8 €. Será que vale a pena jogar, tendo em conta que não posso desistir a meio de um jogo? Responda utilizando uma tabela de NPA´s ou gerando-os num computador. Indique o número de runs considerado.

O intervalo de tempo entre chegadas consecutivas a uma barbearia é uma v.a. exponencial de média 15 minutos. Na barbearia está apenas um barbeiro que demora entre 10 e 15 minutos, uniformemente distribuídos, a fazer um corte de cabelo. Os clientes são atendidos por ordem de chegada (FIFO). O objectivo consiste em calcular as seguintes medidas de performance:

1 – Tempo médio de utilização da barbearia;

2 – Nº médio de clientes à espera;

3 – Tempo médio que um cliente espera na fila.

Simule o comportamento do sistema (barbearia) até à partida (serviço completo) do 5º cliente para determinar as medidas de performance indicadas.

A lavandaria Limpinha tem várias máquinas de lavar roupa idênticas, sujeitas a dois tipos principais de avarias: no motor e no programador. As estatísticas mostram que, para qualquer máquina, após a reparação de uma avaria no motor se segue outra do mesmo tipo em 17% dos casos, ao passo que a seguir à reparação de uma avaria no programador, volta a suceder outra do mesmo tipo em 50% dos casos.

Para cada máquina, a empresa contratada para a manutenção garante assistência gratuita a todas as avarias que sejam verificadas imediatamente a seguir a avarias do mesmo tipo; quando a avaria é diferente da anterior os custos de manutenção são de 55 u.m. por avaria no motor e de 20 u.m. por avaria no programador.

Assumindo que uma certa máquina acaba de ter uma reparação no motor, simule uma sequência de 10 avarias para essa máquina, usando para o efeito a seguinte sequência de nºs PA entre 0 e 99: 15, 78, 58, 89, 61, 27, 54, 39, 15, 63, 27, 20, 18, 9, 72, 26, 34, 43;

b)	Tendo em conta os resultados desta simulação, estime a probabilidade de uma reparação ser gratuita.

Considere um sistema de gestão de stocks em que a procura diária tem uma distribuição normal com média 100 e desvio padrão 20. O prazo de reaprovisionamento é uma v. a. com a distribuição seguinte:

Prazo de reaprovisionamento (dias)	1	2	3	4	5
Probabilidade	0,10	0,25	0,30	0,20	0,15

Sabe-se que é realizada uma encomenda sempre que o stock atinja o valor 200, sendo encomendadas 300 unidades de cada vez. O custo de transportar cada encomenda é de 500 € . Para manter uma unidade em stock de um dia para o outro tem-se um custo de 2 € e se não se puder satisfazer a procura de algum client, estima-se em 2,5 € o custo por cada dia que o cliente espera até poder ter o seu pedido satisfeito.

Simule o funcionamento do sistema de modo a poder estimar o custo médio diário de gerir este stock e a dimensão média de um ciclo. Faça a simulação apenas para 6 dias, começando num dia em que chegou uma encomenda que pôs o nível do stock em 400 unidades.

Obs. Utilize os seguintes nºs PA entre 0 e 9999:

Procura	305, 546, 6037, 3428, 9745, 6991, 5513, 307, 3567

Prazo de reaprovisionamento	2596, 4220,3575, 2108, 7125, 3866, 4797

Na construção de uma ponte ferroviária foi utilizada uma peça cujo tempo de vida pode ser aproximado por uma variável aleatória uniforme, variando entre 2 e 5 meses. Certos acidentes ferroviários, ocorrendo em média um por ano, de acordo com uma distribuição de Poisson, provocam danos irreparáveis na peça, sendo necessária a sua substituição imediata.

De 3 em 3 meses é feita uma inspecção à ponte, em que se troca a peça nos casos em que esta tenha sido instalada há mais de 1,5 meses. O custo unitário da peça é de 100 u.m.; o custo de cada inspecção é de 1 000 u.m.; o custo associado ao encerramento da ponte por avaria da peça é de 2 000 u.m..

Simule o funcionamento do sistema durante um ano, avaliando o respectivo custo. Inicie o estudo supondo que acabou de ser feita uma substituição da peça em virtude de um acidente e que a próxima inspecção ocorrerá dentro de três meses.

Utilize os seguintes NPA´s:

Tempo de vida da peça: 0,072; 0,029; 0,634; 0,123; 0,699; 0,761; 0,717; 0,912; 0,604; 0,512; 0,154; 0,261; 0,598; 0,088; 0,898, 0,063

Acidentes: 0,588; 0,457; 0,546; 0,820; 0,540

Considere um pequeno projecto cujas actividades principais, durações e relações de precedência, são as seguintes:

Actividades	Precedentes	Durações (dias)
A	-	Normal (μ=28; σ=5)
B	-	Uniforme (40;60)
C	-	Exponencial (μ= 40)
D	A	Normal (μ=30; σ=8)
E	B, G	Uniforme (28;22)
F	C	Exponencial (μ= 35)
G	A	f(x)= x/450 , 40 ≤ x ≤50

Determine, através de uma única simulação para a duração de cada actividade, o caminho crítico e a respectiva duração do projecto;

Como procederia para determinar a duração esperada do projecto, e a probabilidade da sua duração ser não superior a 95 dias?

Um investidor pretende entrar num consórcio para construir um hotel. O investimento apresenta alguma incerteza nos cash flows livres e face para a sua participação foram estabelecidas as seguintes previsões:

Ano	Cash - Flow (Mil €)
0	Normal(μ;σ)	-800
1	Normal(μ;σ)	-800	50
2	Normal(μ;σ)	-800	100
3	Normal(μ;σ)	-700	150
4	Normal(μ;σ)	300	200
5	Normal(μ;σ)	400	200
6	Normal(μ;σ)	500	200
7	Uniforme(a;b	2000	8440

Estando estabelecido que no último ano o investidor poderá vender a sua participação, desconhecendo-se o preço. No entanto, a empresa irá ser cotada na bolsa e, face à evidência empírica das cotações desta indústria, prevê-se o preço para a venda da sua participação seja uma variável aleatória uniforme de valor mínimo €:2 milhões e valor máximo €: 8,44 milhões. Este investidor utiliza um custo médio de capital de 10%.

Tome uma decisão fundamentada por recurso à Simulação, identificando o risco do projecto (sugestão: simule valores para o Valor Actualizado Líquido e para a Taxa Interna de Rentabilidade, considerando uma amostra de 100 elementos – runs – e calcule os intervalos de confiança a 95% para estes indicadores).